若或，则称在处连续。

若，则称在处左连续。
若，则称在处右连续。

连续左连续且右连续。

间断点

若在某去心邻域内有定义，但在$x_0$处不连续，则称点位函数的间断点。

第一类间断点

左右极限均存在。

可去间断点

左右极限存在且相等的间断点。

跳跃间断点

左右极限都存在但不相等的间断点。

第二类间断点

左、右极限中至少有一个不存在的间断点。

无穷间断点

左右极限中至少有一个为无穷，如：x=0为 的无穷间断点。

震荡间断点

如： x=0 为 的震荡间断点。

连续性质

• 连续函数的和差积商(分母不为零)及复合仍连续；
• 基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续。
• 闭区间上连续函数的性质：
  • 有界性
    若f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]上有界。
  • 最值性
    若f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
  • 介值性
    若f(x)在[a,b]连续，且，则对f(a)与f(b)之间任一数C，至少存在一个，使得。
    若f(x)在[a,b]连续，则f(x)在(a,b)可取到介于最小值m和最大值M之间的任何值。
• 
  若f(x)在[a,b]连续，且f(a)*f(b)<0,则必存在使。