行列式原创

** $行列式$ **是一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和。

警告

对角线法：主对角线 - 副对角线 只能用于 2、3阶行列式！

# n阶完全展开式

# 逆序

如果一个大的是排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。

# 逆排序数

一个排列的逆序总数，成为这个排列的逆序数。

# 偶排列

如果一个排列的逆序数为偶数，这称这个排列为偶排列。 偶排列取 +，如：

# 奇排列

如果一个排列的逆序数为奇数，这称这个排列为奇排列。 奇排列取 -，如：

# 4阶行列式

警告

对角线法：主对角线 - 副对角线 不能用于 4阶(及其以上)行列式！

# 行列式性质

# 转置

经过转置行列式的值不变。

即：

# 变号

两行(两列)互换位置，行列式的值变号。

# 为0

两行(或两列)元素相同，行列式值为0。
某行(或列)的元素为0，行列式值为0。
某行(或列)的元素对应成比例，行列式值为0。

# 公因子

某行(或列)如有公因子 k ，则可把 k 提出行列式记号外。
也可以将公因子乘到任一行(或列)。
把某行(或列)的k倍加到另一行(或列)，行列式的值不变。

# 按行(列)展开式

在n阶行列式中，划去所在的第i行、第j列的元素，由剩下的元素按原来位置排法构成的一个n-1阶的行列式称其为的余子式，记为。称为的代数余子式，记为，即。

$定理$ n阶行列式等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：

按行展开：

按列展开:

$定理$ n阶行列式任何一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0，即：

# 上(下)三角形行列式

以主对角线(左上至右下)为界：
下部所有元素全部为0，为上三角
上部所有元素全部为0，为下三角

行列式值 = 主对角线乘积

# 副对角线行列式

以副对角线(右上至左下)为界，上部或下部所有元素全部为0

# 拉普拉斯展开式

如果 A 和 B 分别是 m 和 n 阶矩阵，这：

# 范德蒙行列式

# 克拉默法则

若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组

的系数所组成的行列式，则方程组有唯一解，且其中是|A|中第i列元素(即的系数)替换成方程组右端的常数项所构成的行列式。

** $推论$ **若包含n个方程n个未知量的齐次线性方程组

的系数行列式的充要条件是方程组有唯一零解。反之，若齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式|A|=0。

上次更新: 2022/09/12, 23:41:24

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