三角函数原创

角度
弧度	0
	0				1			0	-1	0
	1				0			-1	0	1
	0		1		/		-1	0	/	0
	/		1		0
	1			2	/	-2
	/	2			1

符号	sin	cos	tan	cot	sec	csc
名称	正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
关系	对/斜	邻/斜	对/邻	邻/对	斜/邻	斜/对
周期
对称中心	(kπ,0)(k∈Z)	(kπ+π/2,0)(k∈Z)	(kπ/2,0)(k∈Z)	(kπ/2,0)(k∈Z)	(kπ+π/2,0)(k∈Z)	(kπ,0)(k∈Z)

三角函数图

# 不常用三角函数

符号	versin	coversine	haversine	cohaversine	exsec	excsc
名称	正矢	余矢	半正矢	半余矢	外正割	外余割
关系	1-cosθ	1-sinθ	(1-cosθ)/2	(1-sinθ)/2	secθ -1	cscθ-1
值域	0~2	0~2	0~1	0~1	R(不包括0)	≥0且≤-2

θ（单位为弧度）

# 勾股定理

直角三角形勾3股4弦5。

笔记

任意三角形 $内切圆的半径三角形面积三角形周长$

# 常见三角不等式

警告

若,则
若,则

# 三角函数

sincos
tancot
seccsc

# 三角函数法则

定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。

正号口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦。

纵变横不变，符号看象限。

# 同角函数关系

警告

倒数关系
商数关系
平方关系
- 由二倍角cos2a移项化简而得，又称为降幂公式。
- 由二倍角cos2a移项化简而得，又称为降幂公式。
- 由二倍角cos2a移项化简而得，又称为降幂公式。

# 诱导公式

百度参考 (opens new window)
知乎参考 (opens new window)

为 偶 数 为 奇 数

为 偶 数 为 奇 数

奇变偶不变，符号看象限

# 基本公式

# 二角和差

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sin cos可使用向量法 面积法求证。

tan证明如下：

上下同时除以得：

# 三角和差

# 和差化积

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证明过程：

合角公式：

两式相加减，`cos`同理。

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# 积化和差

常用正余弦积化和差。

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证明一如下：

证明二，利用两角和差公式，代换变化二得，例如：

$\cos \alpha \cos \beta = \dfrac{\cos(\alpha + \beta)}{2} $

# 倍角公式

# 半角

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将降幂公式中a变成然后两边开根号可得半角公式,如：

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证明一：

证明二：

分式上由二倍角化简为

分式下由降幂公式化简为

最终得：

同时由推出

正余符号互反

# 二倍角

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令得：

# 三倍角

# n倍角

# 万能公式

只有3个万能公式。

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由tan半角公式推导而得

得到：

把看作常数，可得：

而

# 降幂公式

由二倍角cos2a移项化简而得。

# 其他公式

# 正弦定理

$定理$ 对于任意三角形，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有：

一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。

# 余弦定理

$定理$ 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理表达式一
余弦定理表达式二
余弦定理表达式三(角元形式，省略)

# 正切定理

$定理$ 对于任意三角形，任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商，等于这两条边对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。

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由正弦定理得：

$和差化积$

同理，证明其他的。

# 辅助角公式

精髓在于

# 傅里叶级数

# 射影定理

#高数基础 #三角函数

上次更新: 2022/08/23, 18:12:45

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